תשובה 1:

מה ההבדל בין נגזרת, נגזרת חלקית ליעקובית?

הנגזרת של פונקציה היא הפונקציה שנותנת לנו את קצב השינוי המיידי של המשתנה התלוי ביחס למשתנה הבלתי תלוי.

כאשר לפונקציה יש יותר ממשתנה עצמאי אחד, אנו מקבלים פונקציות שונות שנותנות לנו את קצב השינוי המיידי של המשתנה התלוי ביחס לכל אחד מהמשתנים הבלתי תלויים, תוך שמירה על משתנים עצמאיים אחרים קבועים. פונקציה זו נקראת נגזרות חלקיות.

Ifwehaveasystemofnequations(i.e.[math]n[/math]dependentvariables[math]y1,y2,yn[/math])in[math]n[/math]independentvariables,[math]x1,x2,,xn,[/math]wecanformamatrixinwhich[math]ith[/math]rowconsistsofthepartialderivativesofthe[math]ith[/math]equationwithrespecttoeachoftheindependentvariablesandthe[math]jth[/math]columnconsistsofthepartialderivativesofeachoftheequationswithrespecttothe[math]jth[/math]independentvariable.If we have a system of n equations (i.e. [math]n[/math] dependent variables [math]y_1,y_2,\cdots y_n[/math]) in [math]n[/math] independent variables, [math]x_1,x_2,\cdots, x_n,[/math] we can form a matrix in which [math]i^{th}[/math] row consists of the partial derivatives of the [math]i^{th}[/math] equation with respect to each of the independent variables and the [math]j^{th}[/math] column consists of the partial derivatives of each of the equations with respect to the [math]j^{th}[/math] independent variable.

Theithrowwouldbe[math]yix1,yix2,,yixn.[/math]The i^{th} row would be [math]\frac{\partial y_i}{\partial x_1},\frac{\partial y_i}{\partial x_2},\cdots, \frac{\partial y_i}{\partial x_n}.[/math]

Thejthcolumnwouldbe[math]y1xj,y2xj,,ynxj.[/math]The j^{th} column would be [math]\frac{\partial y_1}{\partial x_j},\frac{\partial y_2}{\partial x_j},\cdots, \frac{\partial y_n}{\partial x_j}.[/math]

מטריצה ​​זו נקראת המטריצה ​​העקובית או ה יעקובית. לעתים קרובות, הקובע של המטריצה ​​העקובית נקרא גם ה יעקוביאני.